LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA

13 JULI 2020

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis, dengan tema utama kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

Pernyataan

Dalam logika matematika, kita akan belajar untuk menentukan nilai dari suatu pernyataan. Pernyataan sendiri merupakan kalimat yang sudah pasti mempunyai nilai benar atau sudah pasti mempunyai nilai salah, tetapi tidak sekaligus keduanya.

Pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka

Pernyataan lalu dibagi lagi menjadi dua jenis, pernyataan tertutup (kalimat tertutup) dan pernyataan terbuka (kalimat terbuka). Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti sedangkan pernyataan terbuka adalah pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti.

Contoh pernyataan:

• 9 adalah bilangan ganjil >> pernyataan ini bernilai benar
• Jakarta adalah ibukota India >> pernyataan ini bernilai salah

Dalam logika matematika, pernyataan diberi lambang dengan huruf p, q atau r.

Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum mempunyai nilai kebenaran. Kalimat ini selalu mengandung variabel-variabel.

Contoh kalimat terbuka:

• A terkenal sebagai kota hujan
• Atha tidak masuk sekolah karena sakit

Berbeda dengan kalimat tertutup yang bisa diketahui dengan pasti nilai kebenarannya, kalimat terbuka benar dan salahnya masih dipertanyakan. Karena itu kalimat ini belum bisa dikatakan sebagai pernyataan.

Kalimat terbuka bisa diubah menjadi suatu pernyataan jika variabel-variabel dalam kalimat diganti dengan suatu nilai sehingga kalimat tersebut mempunyai nilai kebenaran.

Contoh:
A terkenal sebagai kota hujan adalah kalimat terbuka, sedangkan
Bogor terkenal sebagai kota hujan adalah kalimat pernyataan

Negasi

Setelah memahami apa itu pernyataan dan apa itu kalimat terbuka, langkah selanjutnya adalah membahas negasi.

Negasi atau disebut juga ingkaran/penyangkalan merupakan pernyataan yang menyangkal apa yang diberikan. Ingkaran pernyataan dapat dibentuk dengan menambah ‘Tidak benar bahwa …’ didepan pernyataan yang diingkar. Hal ini dilambangkan dengan ~.

Katakanlah p bernilai benar, maka ~p bernilai salah. Begitu juga sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

Contoh Negasi dari pernyataan:

1. Jakarta adalah ibukota Malaysia
   Jakarta bukan ibukota Malaysia
2. 9 adalah bilangan ganjil
   9 bukanlah bilangan ganjil

Pernyataan Majemuk

Kemudian, pernyataan dijabarkan lagi menjadi pernyataan majemuk, yang dalam hal ini dibagi menjadi beberapa jenis:

1. Konjungsi
2. Disjungsi
3. Implikasi
4. Biimplikasi

1. Kongjungsi

Konjungsi, yang dilambangkan dengan (Ʌ) merupakan pernyataan majemauk dengan kata penghubung “dan”. Ini akan bernilai benar jika variabel-variabelnya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu dari variabelnya bernilai salah.

Contoh:
p: Jakarta adalah ibukota Indonesia (pernyataan bernilai benar)
q: Jakarta adalah kota metropolitan (pernyataan bernilai benar)
p^q: Jakarta adalah ibukota Indonesia dan kota metropolitan (pernyataan bernilai benar)

2. Disjungsi

Disjungsi, yang dilambangkan dengan (V) merupakan pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata penghubung “atau”. Sebuah disjungsi bernilai benar jika salah satu pernyataan bernilai benar dan bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.

Contoh:
p: Jakarta adalah ibukota Indonesia (pernyataan bernilai benar)
q: Jakarta adalah kota pelajar (pernyataan bernilai salah)
pVq: Jakarta adalah ibukota Indonesia atau kota pelajar (pernyataan bernilai benar)

3. Implikasi

Implikasi merupakan dua pertanyaan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “jika p maka q”. Ini dilambangkan dengan p -> q.

Contoh:
p: Atha rajin belajar (pernyataan bernilai benar)
q: Atha lulus dengan nilai gemilang (pernyataan bernilai benar)
p->q: Jika Atha rajin belajar, maka Atha lulus dengan nilai gemilang (pernyataan bernilai benar)

4. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “… jika dan hanya jika”. Ini dinotasikan dengan p<-> q, dibaca “p jika dan hanya jika q”.

Contoh:
p: 1+1 = 2 (pernyataan bernilai benar)
q: 2 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
p<->q: 1+1=2 jika dan hanya jika 2 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)