PEMBUKTIAN : LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA
PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA
27 juli 2020
Nama : Mila dwi andini
Kelas : XI-IPS 3
27 juli 2020
Nama : Mila dwi andini
Kelas : XI-IPS 3
1. Pembuktian Langsung
dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang ada untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)
Contoh: Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil”.
Bukti:
Diketahui bahwa n bilangan ganjil maka dapat dituliskanbahwa n = 2k+1 dengan k bilangan bulat
sehingga n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2)+1
Bentuk 2(2k²+2k)+1 adalah bilangan ganjil
Jadi, n² adalah bilangan ganjil
2. Pembuktian Tidak Langsung
dilakukan dengan 2 cara yaitu:
a. kontraposisi
digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi. untuk membutikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut.
secara simbolik: p → q ≡ ~q → ~p
contoh: buktikan bahwa “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”
Bukti:
Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya. Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).
Artinya n2 bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.
b. kontradiksi
kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada
Contoh: Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n2 ganjil, maka n ganjil”.
Bukti:
Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.
Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.
Dengan demikian maka n2 = (2k)2 atau n2 = 4k2
Ini menunjukkan bahwa n2 = bilangan bulat genap (~p)
Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.
C. Induksi Matematika
adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli
Prinsip Induksi Matematika:
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.
Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.
Contoh: Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan asli n”.
Bukti:
Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2
P(1) benar, sebab 1 = 1
Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Sehingga P(k+1) benar
dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang ada untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)
Contoh: Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil”.
Bukti:
Diketahui bahwa n bilangan ganjil maka dapat dituliskanbahwa n = 2k+1 dengan k bilangan bulat
sehingga n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2)+1
Bentuk 2(2k²+2k)+1 adalah bilangan ganjil
Jadi, n² adalah bilangan ganjil
2. Pembuktian Tidak Langsung
dilakukan dengan 2 cara yaitu:
a. kontraposisi
digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi. untuk membutikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut.
secara simbolik: p → q ≡ ~q → ~p
contoh: buktikan bahwa “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”
Bukti:
Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya. Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).
Artinya n2 bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.
b. kontradiksi
kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada
Contoh: Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n2 ganjil, maka n ganjil”.
Bukti:
Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.
Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.
Dengan demikian maka n2 = (2k)2 atau n2 = 4k2
Ini menunjukkan bahwa n2 = bilangan bulat genap (~p)
Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.
C. Induksi Matematika
adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli
Prinsip Induksi Matematika:
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.
Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.
Contoh: Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan asli n”.
Bukti:
Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2
P(1) benar, sebab 1 = 1
Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Sehingga P(k+1) benar
Komentar
Posting Komentar