soal penyelesaian menggunakan matriks

 SOAL PENYELESAIAN MENGGUNAKAN MATRIKS

Determinan Matriks Ordo 3 × 3

Terdapat dua cara dalam menghitung determinan untuk matriks berordo 3x3, yaitu :

• Metode Sarrus
• Metode Minor-Kofaktor

Cara yang paling mudah atau paling sering digunakan dalam menghitung suatu determinan matriks untuk yang berordo 3x3 adalah metode Sarrus.

Metode Sarrus

Misalkan kita memiliki matriks A berordo 3x3 seperti berikut :

A =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Maka cara perhitungan determinannya ditunjukkan oleh gambar berikut:


Contoh.1
Tentukan Nilai Determinan dari matriks ordo 3x3 berikut :

A =

2 3 4 5 4 3 7 0 1

Jawab :
Nilai determinan untuk matriks di atas adalah sebagai berikut:

det(A) =

2 3 4 5 4 3 7 0 1

2 3 5 4 7 0

det(A) = 2.4.1 + 3.3.7 + 4.5.0 – 4.4.7 – 2.3.0 – 3.5.1 
       =   8   +   63  +   0   –  112  –   0   –   15 
       = – 56

Determinan Matriks Ordo 2 × 2

Misalkan diketahui matriks A, yang merupakan matriks persegi dengan ordo dua.

A=

a b c d

Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

det(A) =

a b c d

  = ad - bc

Contoh.1
Hitungalah atau Tentukan berapa nilai determinan dari matrik berikut :

M=

5 2 4 3

Jawab

det(M) =

5 2 4 3

  = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

kofaktor matriks berordo 3x3

Contoh soal :  hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!

Penyelesaian:

Ekspansi Baris Pertama

 

Rumus manapun (ekspansi baris ke-1, ke-2, atau ke-3) yang digunakan akan menghasilkan nilai determinan yang sama yaitu 17. Coba anda hitung sendiri jika hasilnya berbeda kemungkinan salah perhitungan.

Lalu untuk apa ada tiga rumus jika salah satunya saja sudah bisa menghitung determinan?

Jawabannya adalah “elemen nol”.

Maksudnya jika suatu matriks memiliki satu atau beberapa elemen nol, maka perhitungan determinannya bisa lebih cepat.

Kemudian karena posisi elemen nol bisa berada di baris pertama, kedua atau ketiga. Maka, disinilah fungsi dari ketiga rumus ekspansi baris dalam menghitung determinan.

Satu Elemen Nol

Jika hanya ada satu elemen nol, perhitungan determinan bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom.  Dengan syarat gunakanlah baris atau kolom yang berisi elemen nol.

kofaktor matriks berordo 2x2

Contoh soal : Tentukan semua kofaktor dari matriks A=[−143−5]$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -5\end{array}\right]$!

Pembahasan : 

Karena minornya telah dicari sebelumnya yaitu
M11$M_{11}$ = -5
M12$M_{12}$ = 4
M21$M_{21}$ = 3
M22$M_{22}$ = -1
Jadi, kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah
Cij = (-1)i+j${}^{i+j}$ Mij
C11=(−1)1+1(−5)=−5$C_{11}=(-1{)}^{1+1}(-5)=-5$
C12=(−1)1+2(4)=−4$C_{12}=(-1{)}^{1+2}(4)=-4$
C21=(−1)2+1(3)=−3$C_{21}=(-1{)}^{2+1}(3)=-3$
C22=(−1)2+2(−1)=−1

invers matriks  berordo 3x3

• Invers matriks ordo 3x3 dengan adjoin

Contoh soal : Tentukanlah invers dari matriks berikut.

Pembahasan:

 

Catatan: elemen-elemen yang berada di lingkar biru merupakan diagonal utama matriks A yang ditukar posisinya, sedangkan elemen-elemen yang berada di lingkar oranye merupakan diagonal kedua matriks A yang dikalikan dengan minus satu (-1).

invers matriks berordo 2x2

Contoh soal : Tentukan invers matriks berikut dengan menggunakan adjoin!

Penyelesaian:

 

Oke, berdasarkan rumus di atas, kita membutuhkan determinan dan adjoin matriks A. Pertama, kita cari terlebih dahulu determinan matriks A menggunakan metode yang sudah dijelaskan sebelumnya. Bisa dengan cara aturan Sarrus ataupun metode minor-kofaktor. Misalnya, kita akan menggunakan metode Sarrus, sehingga:

Kemudian, kita tentukan adjoin matriks dengan mencari kofaktor matriks A tersebut.

Oleh karena itu,

Jadi,

• Invers matriks ordo 3x3 dengan transformasi baris elementer

Contoh soal : Tentukan invers matriks A dengan transformasi baris elementer.

Pembahasan:

Pertama-tama, kita bentuk matriks A menjadi matriks (A3|I3).

Lalu, kita transformasikan matriks (A3|I3) ke bentuk (I3|A3). Kita bisa menggunakan beberapa cara seperti yang dijelaskan poin a-d pada langkah ke-2 rumus di atas.

Keterangan:

1)  B2-2B1 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

2)  B3-2B1 = elemen-elemen baris ke-3 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

3)  B3+B2 = elemen-elemen baris ke-3 ditambah elemen-elemen baris ke-2.

4)  1/5B3 = elemen-elemen baris ke-3 dikali degan ⅕.

5)  B2-2B3 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-3.

6)  B1-B2 = elemen-elemen baris ke-1 dikurang elemen-elemen baris ke-2.

Sehingga, diperoleh invers matriks A, yaitu: